حل تمرین صفحه 10 ریاضی و آمار دوازدهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۱۰ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این مسئله یک کاربرد مستقیم از **اصل جمع (Addition Principle)** است. هدف ما انجام **یک کار واحد** (انتخاب یک دانش‌آموز) است که می‌تواند به چندین روش **ناسازگار** (از بین دهم، یازدهم یا دوازدهم) انجام شود. * **تعداد دانش‌آموزان دهم:** $\text{n}_1 = 10$ * **تعداد دانش‌آموزان یازدهم:** $\text{n}_2 = 11$ * **تعداد دانش‌آموزان دوازدهم:** $\text{n}_3 = 12$ چون انتخاب از هر کلاس، حالت‌های **جداگانه** و **ناسازگار** هستند، تعداد کل راه‌ها برابر با مجموع تعداد دانش‌آموزان است: $$\text{تعداد کل انتخاب‌ها} = \text{n}_1 + \text{n}_2 + \text{n}_3 = 10 + 11 + 12 = \mathbf{33}$$ **نتیجه:** به $\mathbf{33}$ طریق می‌توان یک دانش‌آموز از این مجموع انتخاب کرد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۱۰ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این مسئله ترکیبی از **اصل جمع** (مسیرهای جایگزین) و **اصل ضرب** (مراحل متوالی) است. ابتدا باید تعداد راه‌های بین هر دو شهر را از روی نمودار بخوانیم: * $\text{A} \leftrightarrow \text{B}$: $\mathbf{3}$ راه * $\text{B} \leftrightarrow \text{C}$: $\mathbf{4}$ راه * $\text{C} \leftrightarrow \text{D}$: $\mathbf{3}$ راه * $\text{A} \leftrightarrow \text{D}$: $\mathbf{2}$ راه * $\text{D} \leftrightarrow \text{E}$: $\mathbf{3}$ راه * $\text{A} \leftrightarrow \text{E}$: $\mathbf{1}$ راه * $\text{C} \leftrightarrow \text{E}$: $\mathbf{1}$ راه --- ### الف) از $\mathbf{A}$ به $\mathbf{C}$ مسافرت کرد؟ مسیرهای ممکن از $\text{A}$ به $\text{C}$ (باید از **اصل جمع** استفاده کنیم): 1. **مسیر $athbf{\text{A} \to \text{B} \to \text{C}}$:** $\text{3} \times \text{4} = 12$ راه 2. **مسیر $athbf{\text{A} \to \text{D} \to \text{C}}$:** $\text{2} \times \text{3} = 6$ راه 3. **مسیر $athbf{\text{A} \to \text{E} \to \text{C}}$:** $\text{1} \times \text{1} = 1$ راه $$\text{تعداد کل راه‌ها} = 12 + 6 + 1 = \mathbf{19}$$ --- ### ب) از $\mathbf{A}$ به $\mathbf{C}$ و از طریق $\mathbf{B}$ مسافرت رفت و برگشت انجام داد؟ این شامل دو مرحله متوالی است: $\mathbf{A} \to \text{B} \to \text{C}$ (رفت) و $\mathbf{C} \to \text{B} \to \text{A}$ (برگشت). از **اصل ضرب** استفاده می‌کنیم. * **تعداد راه‌های رفت ($\mathbf{A} \to \text{B} \to \text{C}$):** $3 \times 4 = 12$ راه * **تعداد راه‌های برگشت ($\mathbf{C} \to \text{B} \to \text{A}$):** $4 \times 3 = 12$ راه $$\text{تعداد کل راه‌ها} = \text{راه‌های رفت} \times \text{راه‌های برگشت} = 12 \times 12 = \mathbf{144}$$ --- ### پ) از $athbf{D}$ بدون عبور از $athbf{A}$ به $athbf{E}$ مسافرت کرد؟ ابتدا تمام مسیرهای ممکن از $\text{D}$ به $\text{E}$ را می‌نویسیم (اصل جمع): 1. **مسیر مستقیم $athbf{\text{D} \to \text{E}}$:** $athbf{3}$ راه 2. **مسیر $athbf{\text{D} \to \text{C} \to \text{E}}$:** $ ext{3} \times \text{1} = 3$ راه 3. **مسیر $athbf{\text{D} \to \text{B} \to \text{A} \to \text{E}}$:** $ ext{D} \to \text{B}$ راه ندارد. (باید از راه‌های دوطرفه استفاده کنیم $\text{B} \leftrightarrow \text{D}$ در نمودار وجود ندارد.) 4. **مسیر $athbf{\text{D} \to \text{B} \to \text{C} \to \text{E}}$:** $ ext{D} \to \text{B}$ راه ندارد. 5. **مسیر $athbf{\text{D} \to \text{A} \to \text{E}}$ (مسیری که نباید برویم):** $ ext{2} \times \text{1} = 2$ راه مسیرهای مجاز (بدون عبور از $\mathbf{A}$): * **مسیر مستقیم $athbf{\text{D} \to \text{E}}$:** $athbf{3}$ راه * **مسیر $athbf{\text{D} \to \text{C} \to \text{E}}$:** $athbf{3}$ راه $$\text{تعداد کل راه‌ها} = 3 + 3 = \mathbf{6}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۱۰ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی **حروف کلمهٔ «ولایت»:** $\mathbf{\left\{ \text{و}, \text{ل}, \text{ا}, \text{ی}, \text{ت} \right\}}$ * **تعداد کل حروف ($athbf{n}$):** $\mathbf{5}$ (حروف متمایز) * **شرط:** بدون تکرار حروف (جایگشت) --- ### الف) چند کلمه ۵ حرفی می‌توان نوشت؟ این یک جایگشت $\mathbf{5}$ تایی از $\mathbf{5}$ شیء متمایز است ($\mathbf{5!}$): $$\text{تعداد کلمات} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = \mathbf{120}$$ --- ### ب) چند کلمه ۳ حرفی می‌توان نوشت که به «ی» ختم شوند؟ این یک مسئلهٔ **جایگشت** است که محدودیت دارد. $\mathbf{3}$ جایگاه را در نظر می‌گیریم: * **جایگاه ۳ (یکان):** $athbf{1}$ انتخاب (فقط «ی») * **جایگاه ۱ (صدگان):** $athbf{4}$ انتخاب (۴ حرف باقیمانده) * **جایگاه ۲ (دهگان):** $athbf{3}$ انتخاب (۳ حرف باقیمانده) $$\text{تعداد کلمات} = 4 \times 3 \times 1 = \mathbf{12}$$ --- ### پ) چند کلمه ۵ حرفی می‌توان نوشت که با «و» شروع و به «ل» ختم شوند؟ این یک جایگشت $\mathbf{5}$ تایی با دو محدودیت است: * **جایگاه ۱ (شروع):** $athbf{1}$ انتخاب (فقط «و») * **جایگاه ۵ (پایان):** $athbf{1}$ انتخاب (فقط «ل») * **جایگاه‌های میانی (۲، ۳، ۴):** $athbf{3}$ حرف باقیمانده («ا»، «ی»، «ت») باید در $athbf{3}$ جایگاه چیده شوند. ($athbf{3!}$) $$\text{تعداد کلمات} = 1 \times (3 \times 2 \times 1) \times 1 = 3! = \mathbf{6}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۱۰ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این مسئله در مورد تعداد مسابقات در یک لیگ **رفت و برگشت** است. انتخاب دو تیم برای مسابقه، یک **جایگشت** است، زیرا $\mathbf{\text{تیم } \mathbf{A} \text{ بازی می‌کند با تیم } \mathbf{B}}$ با $\mathbf{\text{تیم } \mathbf{B} \text{ بازی می‌کند با تیم } \mathbf{A}}$ متفاوت است (بازی رفت و برگشت). * **تعداد کل تیم‌ها ($athbf{n}$):** $\mathbf{10}$ * **تعداد تیم‌ها در هر بازی ($athbf{r}$):** $\mathbf{2}$ چون بازی‌ها **رفت و برگشت** هستند، ترتیب انتخاب تیم‌ها مهم است ($\text{A}$ در خانه $\text{B}$ بازی می‌کند با $\text{B}$ در خانه $\text{A}$ بازی می‌کند متفاوت است). بنابراین، از **جایگشت $\mathbf{2}$ تایی از $\mathbf{10}$** استفاده می‌کنیم: $$\text{تعداد بازی‌ها} = \text{P}(10, 2) = 10 \times 9 = \mathbf{90}$$ **توضیح دیگر (اصل ضرب):** 1. **انتخاب تیم میزبان:** $athbf{10}$ انتخاب. 2. **انتخاب تیم مهمان:** $athbf{9}$ انتخاب (نمی‌تواند خودش باشد). $$\text{تعداد کل بازی‌ها} = 10 \times 9 = 90$$ **نتیجه:** در پایان دوره، $\mathbf{90}$ بازی انجام شده است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۱۰ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این یک مسئلهٔ ساده از **اصل ضرب (Multiplication Principle)** است. خریدار باید تمام مراحل انتخاب (رنگ **و** حجم موتور **و** نوع داشبورد) را به‌صورت متوالی انجام دهد تا خودروی نهایی را انتخاب کند. * **انتخاب رنگ:** $athbf{7}$ حالت * **انتخاب حجم موتور:** $athbf{2}$ حالت * **انتخاب نوع داشبورد:** $athbf{3}$ حالت $$\text{تعداد کل انتخاب‌ها} = \text{تعداد حالت‌های رنگ} \times \text{تعداد حالت‌های موتور} \times \text{تعداد حالت‌های داشبورد}$$ $$\text{تعداد کل انتخاب‌ها} = 7 \times 2 \times 3 = \mathbf{42}$$ **نتیجه:** خریدار $\mathbf{42}$ انتخاب مختلف برای خرید یک خودرو دارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۱۰ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی **ارقام موجود:** $\mathbf{\text{A} = \left\{ 1, 2, 4, 6, 8, 9 \right\}}$ * **تعداد کل ارقام ($athbf{n}$):** $\mathbf{6}$ * **شرط اصلی:** $athbf{5}$ رقمی و **بدون تکرار**. --- ### الف) چند عدد ۵ رقمی و زوج می‌توان ساخت؟ **محدودیت:** رقم **یکان** باید زوج باشد ($athbf{2, 4, 6, 8}$). محدودیت دیگری (مثل $\mathbf{0}$) وجود ندارد. 1. **جایگاه ۵ (یکان):** $athbf{4}$ انتخاب ($\mathbf{2}$ یا $\mathbf{4}$ یا $\mathbf{6}$ یا $\mathbf{8}$) 2. **جایگاه ۱ (دهگان هزار):** $athbf{5}$ انتخاب (۵ رقم باقیمانده) 3. **جایگاه ۲:** $athbf{4}$ انتخاب 4. **جایگاه ۳:** $athbf{3}$ انتخاب 5. **جایگاه ۴:** $athbf{2}$ انتخاب $$\text{تعداد اعداد زوج} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 4 = 120 \times 4 = \mathbf{480}$$ --- ### ب) چند عدد ۵ رقمی و بزرگ‌تر از $athbf{80000}$ می‌توان نوشت؟ **محدودیت:** رقم **دهگان هزار** (جایگاه ۱) باید بزرگ‌تر یا مساوی $athbf{8}$ باشد. (چون عدد ۵ رقمی است، شروع با $\mathbf{8}$ یا $\mathbf{9}$ کفایت می‌کند.) 1. **جایگاه ۱ (دهگان هزار):** $athbf{2}$ انتخاب ($athbf{8}$ یا $athbf{9}$) 2. **جایگاه ۲:** $athbf{5}$ انتخاب (۵ رقم باقیمانده) 3. **جایگاه ۳:** $athbf{4}$ انتخاب 4. **جایگاه ۴:** $athbf{3}$ انتخاب 5. **جایگاه ۵:** $athbf{2}$ انتخاب $$\text{تعداد اعداد بزرگ‌تر از } 80000 = 2 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = \mathbf{240}$$ --- ### پ) مجموعه $athbf{A}$ چند زیرمجموعه ۳ عضوی دارد؟ این یک مسئلهٔ **ترکیب** است، زیرا ترتیب اعضای زیرمجموعه مهم نیست. ($athbf{n}=6, \mathbf{r}=3$) $$\text{تعداد زیرمجموعه‌ها} = \binom{6}{3} = \frac{6!}{3! (6 - 3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \mathbf{20}$$ --- ### ت) مجموعه $athbf{A}$ چند زیرمجموعه ۳ عضوی و شامل رقم $athbf{8}$ دارد؟ **شرط:** باید رقم $athbf{8}$ حتماً در زیرمجموعه باشد. 1. **جایگاه $athbf{8}$:** $athbf{1}$ انتخاب (اجباری) 2. **انتخاب بقیه اعضا:** باید $athbf{2}$ عضو دیگر از $athbf{5}$ عضو باقیمانده ($\mathbf{\left\{ 1, 2, 4, 6, 9 \right\}}$) انتخاب کنیم. ($athbf{n}=5, \mathbf{r}=2$) $$\text{تعداد زیرمجموعه‌ها} = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! 3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \mathbf{10}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۱۰ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این مسئله کاربرد مفهوم **ترکیب** در هندسه است. از آنجایی که هیچ سه نقطه‌ای از این ۱۲ نقطه روی یک خط نیستند (زیرا روی محیط دایره قرار دارند)، می‌توان از ترکیب استفاده کرد. * **تعداد کل نقاط ($athbf{n}$):** $athbf{12}$ --- ### الف) تعداد مثلث‌ها برای تشکیل یک **مثلث**، به $athbf{3}$ نقطه نیاز داریم. ترتیب انتخاب این نقاط مهم نیست. ($athbf{r}=3$) $$\text{تعداد مثلث‌ها} = \binom{12}{3} = \frac{12!}{3! (12 - 3)!} = \frac{12!}{3! 9!}$$ $$\binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \mathbf{220}$$ **نتیجه:** $athbf{220}$ مثلث می‌توان تشکیل داد. --- ### ب) تعداد وترها برای تشکیل یک **وتر**، به $athbf{2}$ نقطه نیاز داریم. ترتیب انتخاب این نقاط مهم نیست. ($athbf{r}=2$) $$\text{تعداد وترها} = \binom{12}{2} = \frac{12!}{2! (12 - 2)!} = \frac{12!}{2! 10!}$$ $$\binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = \mathbf{66}$$ **نتیجه:** $athbf{66}$ وتر می‌توان تشکیل داد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۱۰ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این مسئله یک تمرین عالی در زمینهٔ **ترکیب شرطی** است که از **اصل ضرب** برای ترکیب زیرمجموعه‌های ناسازگار استفاده می‌کند. * **یازدهم ($athbf{Y}$):** $athbf{5}$ نفر * **دوازدهم ($athbf{D}$):** $athbf{6}$ نفر * **تعداد کل تیم:** $athbf{6}$ نفر --- ### الف) به تعداد مساوی یازدهم و دوازدهم در تیم حضور داشته باشند تیم ۶ نفره، پس باید $athbf{3}$ نفر از یازدهم و $athbf{3}$ نفر از دوازدهم انتخاب شوند. (اصل ضرب) $$\text{تعداد راه‌ها} = (\text{انتخاب } 3 \text{ از } 5 \text{ یازدهم}) \times (\text{انتخاب } 3 \text{ از } 6 \text{ دوازدهم})$$ $$\binom{5}{3} \times \binom{6}{3} = \left( \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} \right) \times \left( \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \right) = 10 \times 20 = \mathbf{200}$$ --- ### ب) کاپیتان تیم فرد مشخصی از پایه دوازدهم باشد 1. **انتخاب کاپیتان:** $athbf{1}$ راه (فرد مشخصی از $athbf{D}$) 2. **انتخاب $athbf{5}$ عضو باقیمانده:** باید $athbf{5}$ نفر دیگر از $athbf{10}$ نفر باقیمانده ($\mathbf{5}$ نفر از $\mathbf{Y}$ و $\mathbf{5}$ نفر از $\mathbf{D}$) انتخاب شوند. (ترتیب در انتخاب مهم نیست.) $$\text{تعداد راه‌ها} = 1 \times \binom{10}{5} = 1 \times \frac{10!}{5! 5!} = \mathbf{252}$$ --- ### پ) حداقل $athbf{2}$ نفر از اعضای تیم، دانش‌آموز دوازدهم باشند حداقل $athbf{2}$ نفر از $athbf{D}$ به این معنی است که تعداد $athbf{D}$ می‌تواند $athbf{2, 3, 4, 5, 6}$ باشد. (اصل جمع) | تعداد $athbf{D}$ | تعداد $athbf{Y}$ | تعداد راه‌ها ($athbf{\binom{6}{athbf{D}} \times \binom{5}{athbf{Y}}}$) | |:---:|:---:|:---:| | $athbf{2}$ | $4$ | $\binom{6}{2} \times \binom{5}{4} = 15 \times 5 = 75$ | | $athbf{3}$ | $3$ | $\binom{6}{3} \times \binom{5}{3} = 20 \times 10 = 200$ | | $athbf{4}$ | $2$ | $\binom{6}{4} \times \binom{5}{2} = 15 \times 10 = 150$ | | $athbf{5}$ | $1$ | $\binom{6}{5} \times \binom{5}{1} = 6 \times 5 = 30$ | | $athbf{6}$ | $0$ | $\binom{6}{6} \times \binom{5}{0} = 1 \times 1 = 1$ | $$\text{تعداد کل راه‌ها} = 75 + 200 + 150 + 30 + 1 = \mathbf{456}$$ --- ### ت) فقط $athbf{2}$ نفر از اعضای تیم از پایه یازدهم باشند فقط $athbf{2}$ نفر از $athbf{Y}$، یعنی باید $athbf{4}$ نفر باقیمانده از $athbf{D}$ باشند. (اصل ضرب) $$\text{تعداد راه‌ها} = (\text{انتخاب } 2 \text{ از } 5 \text{ یازدهم}) \times (\text{انتخاب } 4 \text{ از } 6 \text{ دوازدهم})$$ $$\binom{5}{2} \times \binom{6}{4} = 10 \times 15 = \mathbf{150}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۰ صفحه ۱۰ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این یک مسئلهٔ **مهندسی معکوس** در شمارش است که باید از **اصل جمع** و **اصل ضرب** برای یافتن تعداد مسیرهای مجهول استفاده کنیم. **راه‌های معلوم:** * $\text{C} \leftrightarrow \text{D}$: $athbf{3}$ راه * $\text{D} \leftrightarrow \text{E}$: $athbf{4}$ راه * $\text{E} \leftrightarrow \text{C}$: $athbf{1}$ راه (خط چین در نمودار، راه را نشان می‌دهد که می‌توان یک راه در نظر گرفت.) * $\text{A} \leftrightarrow \text{B}$: $athbf{2}$ راه * $\text{B} \leftrightarrow \text{C}$: $athbf{1}$ راه (خط چین) * **مجهول:** $athbf{r}$ (راه $\text{A} \leftrightarrow \text{E}$) **مسیر مورد نظر:** از $\mathbf{D}$ به $\mathbf{B}$ ($athbf{20}$ راه) **مسیرهای ممکن از $athbf{D}$ به $athbf{B}$:** 1. **مسیر $athbf{\text{D} \to \text{C} \to \text{B}}$:** $athbf{3} \times \mathbf{1} = 3$ راه 2. **مسیر $athbf{\text{D} \to \text{E} \to \text{A} \to \text{B}}$:** $athbf{4} \times \mathbf{r} \times \mathbf{2} = 8\text{r}$ راه 3. **مسیر $athbf{\text{D} \to \text{E} \to \text{C} \to \text{B}}$:** $athbf{4} \times \mathbf{1} \times \mathbf{1} = 4$ راه **تعداد کل راه‌ها (اصل جمع):** $$\text{Total Ways} = (\text{مسیر } 1) + (\text{مسیر } 2) + (\text{مسیر } 3)$$ $$20 = 3 + 8\text{r} + 4$$ $$20 = 7 + 8\text{r}$$ $$8\text{r} = 20 - 7$$ $$8\text{r} = 13$$ $$\text{r} = \frac{13}{8} = 1.625$$ چون تعداد جاده‌ها باید **عدد صحیح** باشد، این جواب دقیق نیست. با فرض اینکه خط چین $\mathbf{A} \leftrightarrow \text{E}$ به جای $\text{r}$ راه، $athbf{1}$ راه باشد و ما باید تعداد راه‌های دیگر را مجهول در نظر می‌گرفتیم، اما بر اساس مجهول $\mathbf{r}$ در شکل: **تعریف تعداد راه‌ها:** $$\text{تعداد راه‌ها از } \mathbf{E} \text{ به } \mathbf{A} \text{ باید } \mathbf{r} \text{ باشد}$$ **اصلاح مسئله بر اساس اعداد صحیح (فرض جدید):** اگر فرض کنیم $r=1$ باشد، تعداد کل راه‌ها $3 + 8(1) + 4 = 15$ می‌شود. برای رسیدن به $20$ راه، باید ۵ راه به دست آوریم. * **فرض کنید $athbf{E} \leftrightarrow \mathbf{A}$ برابر با $athbf{r}$ راه و $athbf{A} \leftrightarrow \mathbf{B}$ برابر با $athbf{s}$ راه باشد (در شکل $s=2$ است):** * مسیر $athbf{D} \to \mathbf{E} \to \mathbf{A} \to \mathbf{B}$: $athbf{4} \times \mathbf{r} \times \mathbf{s} = 8\text{r}$ **تنها حالت منطقی که $athbf{r}$ را مجهول فرض کرده است، این است که $r$ باید یک عدد صحیح باشد. بنابراین، برای رسیدن به ۲.۵ جاده (بدون گرد کردن)، نمی‌توانیم این مسئله را با اعداد صحیح حل کنیم.** **پاسخ محتمل (بر اساس انتظار کتاب):** فرض کنید $athbf{r}$ راه از $athbf{E}$ به $athbf{A}$ است و می‌خواهیم $athbf{20}$ راه داشته باشیم: $$\text{مسیرها}: 3 + 4 + 8r = 20 \quad \Rightarrow \quad 8r = 13 \quad \Rightarrow \quad r = 1.625$$ **پاسخ آموزشی:** از آنجا که $\text{r}$ یک مسیر فیزیکی است، باید $athbf{r}$ عدد صحیح باشد. با فرض $athbf{r}=2$، تعداد کل راه‌ها $3 + 8(2) + 4 = 23$ می‌شود. با فرض $athbf{r}=1$، تعداد کل راه‌ها $15$ می‌شود. **این مسئله در اعداد صحیح جواب ندارد، مگر اینکه فرض شود $athbf{r}$ برابر با $athbf{1.625}$ باشد.**